题目

已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线顶点在坐标原点，焦点为F． （1）求的标准方程； （2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）；（2）或 【解析】（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程. （2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程. 详解：（1）依题意可知，即， 由右顶点为得，解得，所以的标准方程为. （2）依题意可知方程为，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为，， 联立方程组，得， 由韦达定理得，则， 联立方程组，得，由韦达定理得，所以， 若，则，即，解得， 所以存在符合题意的直线方程为或. 点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.

查看本题答案和解析