题目

如图，间距为 l 的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为 B ，导轨左端接有阻值为 R 的定值电阻，一质量为 m 的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度 v 0 向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为 u 0 。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻 R 以外不计其它电阻。 （ 1 ）求金属杆中的电流和水平外力的功率； （ 2 ）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为 ，求： （ i ）这段时间内电阻 R 上产生的焦耳热； （ ii ）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。 答案： （ 1 ） I = ， P = ；（ 2 ）（ i ） Q = mv 0 2 ，（ ii ） d = 【详解】 （ 1 ）金属棒切割磁感线产生的感应电动势 E = Blv 0 则金属杆中的电流 I = = 由题知，金属杆在水平外力作用下以速度 v 0 向右做匀速直线运动则有 F = F 安 = BIl = 根据功率的计算公式有 P = Fv 0 = （ 2 ）（ i ）设金属杆内单位体积的自由电子数为 n ，金属杆的横截面积为 S ，则金属杆在水平外力作用下以速度 v 0 向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为 I = nSeu 0 = 则解得 nSe = 此时电子沿金属杆定向移动的速率变为 ，则 I ′ = nSe = 解得 v ′ = 则能量守恒有 mv ′ = mv 0 2 - Q 解得 Q = mv 0 2 （ ii ）由（ i ）可知在这段时间内金属杆的速度由 v 0 变到 ，则根据动量定理有 - Bql × D t = m - mv 0 = - BlnSe = - BlnSe × d （取向右为正） 由于 nSe = 化简得 d =

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