题目

在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 ∠ BAD ． 【探究发现】 （ 1 ）如图 ① ，若 ∠ BAD ＝ ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ＝ ．求证： AD ＋ AB ＝ AC ； 【拓展迁移】 （ 2 ）如图 ② ，若 ∠ BAD ＝ ， ∠ ABC ＋ ∠ ADC ＝ ． ① 猜想 AB 、 AD 、 AC 三条线段的数量关系，并说明理由； ② 若 AC ＝ 10 ，求四边形 ABCD 的面积． 答案： （ 1 ）见解析；（ 2 ） ① AD ＋ AB ＝ AC ，见解析； ② 【解析】 （ 1 ）根据角平分线的性质得到 ∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝ ，然后根据直角三角形中 是斜边的一半即可写出数量关系； （ 2 ） ① 根据第一问中的思路，过点 C 分别作 CE ⊥ AD 于 E ， CF ⊥ AB 于 F ，构造 证明 △ CFB △ CED ，根据全等的性质得到 FB ＝ DE ，结合第一问结论即可写出数量关系； ② 根据题意应用 的正弦值求得 的长，然后根据 的数量关系即可求解四边形 ABCD 的面积． 【详解】 （ 1 ）证明： ∵ AC 平分 ∠ BAD ， ∠ BAD ＝ ， ∴∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝ ， ∵∠ ADC ＝ ∠ ABC ＝ ， ∴∠ ACD ＝ ∠ ACB ＝ ， ∴ AD ＝ ． ∴ AD ＋ AB ＝ AC ， （ 2 ） ① AD ＋ AB ＝ AC ， 理由：过点 C 分别作 CE ⊥ AD 于 E ， CF ⊥ AB 于 F ． ， ∵ AC 平分 ∠ BAD ， ∴ CF ＝ CE ， ∵∠ ABC ＋ ∠ ADC ＝ ， ∠ EDC ＋ ∠ ADC ＝ ， ∴∠ FBC ＝ ∠ EDC ， 又 ∠ CFB ＝ ∠ CED ＝ ， ∴△ CFB △ CED ， ∴ FB ＝ DE ， ∴ AD ＋ AB ＝ AD ＋ FB ＋ AF ＝ AD ＋ DE ＋ AF ＝ AE ＋ AF ， 在四边形 AFCE 中，由 ⑴ 题知： AE ＋ AF ＝ AC ， ∴ AD ＋ AB ＝ AC ； ② 在 Rt △ ACE 中， ∵ AC 平分 ∠ BAD ， ∠ BAD ＝ ∴∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝ ， 又 ∵ AC ＝ 10 ， ∴ CE ＝ A ， ∵ CF ＝ CE ， AD ＋ AB ＝ AC ， ∴ ＝ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．

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