题目

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正方形 ABCO ， ．点 D 为 x 轴上一动点，以 AD 为边在 AD 的右侧作等腰 ， ，连接 OE ，则 OE 的最小值为 ___________ ． 答案： 2 【分析】 如图，作 EH ⊥ x 轴于 H ，连接 CE ．利用全等三角形的性质证明 ∠ ECH ＝ 45° ，推出点 E 在 ∠ BCH 的角平分线所在直线上运动，作 OE’ ⊥ CE ，求出 OE’ 的长即可解决问题． 【详解】 解：如图，作 EH ⊥ x 轴于 H ，连接 CE ． ∵∠ AOD ＝ ∠ ADE ＝ ∠ EHD ＝ 90° ， ∴∠ ADO ＋ ∠ EDH ＝ 90° ， ∠ EDH ＋ ∠ DEH ＝ 90° ， ∴∠ ADO ＝ ∠ DEH ， ∵ AD ＝ DE ， ∴△ ADO ≌△ DEH （ AAS ）， ∴ OA ＝ DH ＝ OC ， OD ＝ EH ， ∴ OD ＝ CH ＝ EH ， ∴∠ ECH ＝ 45° ， ∴ 点 E 在 ∠ BCH 的角平分线所在直线上运动， 作 OE’ ⊥ CE ，则 △ OCE’ 是等腰直角三角形， ∵ OC ＝ 4 ， ∴ OE' ＝ 2 ， ∴ OE 的最小值为 2 ， 故答案为： 2 ． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

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