题目

某农户建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为 19 米，墙对面有一个 2 米宽的门，另三边用竹篱笆围成；篱笆总长 34 米，长方形养鸡场除门外四周不留空隙． （ 1 ）若要围成的鸡场面积为 160 平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？ （ 2 ）围成养鸡场的面积能否达到 180 平方米？请说明理由． 答案： （ 1 ）长为 16 米，宽为 10 米；（ 2 ）不能，见解析 【分析】 （ 1 ）设垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为（ 34+2-2 x ）米，根据养鸡场的面积为 160 平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，结合墙长 19 米，即可确定养鸡场的长和宽； （ 2 ）不能，设垂直于墙的一边长为 y 米，则平行于墙的一边长为（ 34+2-2 y ）米，根据养鸡场的面积为 180 平方米，即可得出关于 y 的一元二次方程，由根的判别式 Δ=-36 ＜ 0 ，即可得出该方程无实数根，即围成养鸡场的面积不能达到 180 平方米． 【详解】 解：（ 1 ）设垂直于墙的一边长为 x 米，则平行于墙的一边长为（ 34+2-2 x ）米， 依题意得： x （ 34+2-2 x ） =160 ， 整理得： x 2 -18 x +80=0 ， 解得： x 1 =8 ， x 2 =10 ． 当 x =8 时， 34+2-2 x =34+2-2×8=20 ＞ 19 ，不合题意，舍去； 当 x =10 时， 34+2-2 x =34+2-2×10=16 ＜ 19 ，符合题意． 答：养鸡场的长为 16 米，宽为 10 米． （ 2 ）不能，理由如下： 设垂直于墙的一边长为 y 米，则平行于墙的一边长为（ 34+2-2 y ）米， 依题意得： y （ 34+2-2 y ） =180 ， 整理得： y 2 -18 y +90=0 ． ∵△= （ -18 ） 2 -4×1×90=-36 ＜ 0 ， ∴ 该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到 180 平方米． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（ 1 ）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（ 2 ）牢记 “ 当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根 ” ．

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