题目

已知 lg(3x) ＋ lgy ＝ lg(x ＋ y ＋ 1) ． (1) 求 xy 的最小值； (2) 求 x ＋ y 的最小值． 答案： （ 1 ） 1 （ 2 ） 2 【详解】 解：由 lg(3x) ＋ lgy ＝ lg(x ＋ y ＋ 1) 得 (1)∵x>0 ， y>0 ， ∴3xy ＝ x ＋ y ＋ 1≥2 ＋ 1 ， ∴3xy － 2 － 1≥0 ， 即 3( ) 2 － 2 － 1≥0 ， ∴(3 ＋ 1)( － 1)≥0 ， ∴ ≥1 ， ∴xy≥1 ， 当且仅当 x ＝ y ＝ 1 时，等号成立． ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0 ， y>0 ， ∴x ＋ y ＋ 1 ＝ 3xy≤3·( ) 2 ， ∴3(x ＋ y) 2 － 4(x ＋ y) － 4≥0 ， ∴[3(x ＋ y) ＋ 2][(x ＋ y) － 2]≥0 ， ∴x ＋ y≥2 ， 当且仅当 x ＝ y ＝ 1 时取等号， ∴x ＋ y 的最小值为 2.

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