题目

已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，动点在轴上方. （1）若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点，求以、为焦点且经过点的椭圆的方程； （2）若∠，求△的外接圆的方程； （3）若在给定直线上任取一点，从点向(2)中圆引一条切线，切点为. 问是否存在一个定点，恒有？请说明理由. 答案：解：（1）双曲线的左、右焦点、的坐标分别为和， ∵双曲线的渐进线方程为：， ∴点的坐标为是渐进线上的点，即点的坐标为。 ∵∴椭圆的长轴长 ∵半焦距，∴椭圆的方程     ……………………..5分 （2）∵，∴，即 又圆心在线段的垂直平分线上，故可设圆心 由。∴△的外接圆的方程为……………..9分 （3）假设存在这样的定点设点P的坐标为 ∵恒有，∴ 即对恒成立。 从而，消去，得 ∵方程的判别式 ∴①当时，方程无实数解，∴不存在这样的定点； ②当时，方程有实数解，此时，即直线与圆相离或相切，故此时存在这样的定点

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