题目

某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计． （1）求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值； （2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，（单位：元千米，为常数）．记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值． 答案：（1）围成的四边形区域 的面积的最大值 平方千米；（2）总费用的最小值元. 【解析】 （1）由楼宇对楼宇，的视角为得楼宇D在一段圆弧上，则相等时，可得最大，固定，计算此时四边形的面积即可． （2）用表示出，，从而表示出铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费：，再利用导数判断的单调性，从而求得它的最小值，问题得解． 【详解】 （1）当且仅当：时，取得等号，所以的最大值为 又因为四边形的面积 所以四边形的面积的最大值为. 答：四栋楼宇围成的四边形区域的面积的最大值平方千米. （2）当楼宇与楼宇间距离相等时 由（1）得： 则，又因为，所以，因为等边三角形 所以，所以 在中，，所以 ，则 所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用   令 因为，所以 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以当时， 即：的最小值为 答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值元. 【点睛】 本题主要考查了圆的性质，三角形面积计算，还考查了函数思想及转化思想，计算能力及利用导数求函数的最值，考查了实际问题建模，属于难题．

查看本题答案和解析