题目

如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 x 轴、 y 轴交于点 B 、 C ，且与直线 交于点 A ． （ 1 ）求出点 A 的坐标； （ 2 ）若 D 是线段 OA 上的点，且 的面积为 12 ，求直线 的解析式； （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，设 P 是射线 上的点，在平面内是否存在点 Q ，使以 O 、 C 、 P 、 Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： （ 1 ） ；（ 2 ）直线 解析式为 ；（ 3 ）存在点 P ，使以 O 、 C 、 P 、 Q 为顶点的四边形是菱形，坐标为 或 或 【分析】 （ 1 ）结合题意，根据一次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （ 2 ）设 ，根据题意列一元一次方程并求解，得 ；根据一次函数图像的性质，计算得 ；设直线 的函数表达式是 ，通过求解二元一次方程组，即可得到答案； （ 3 ）根据题意，设 ，且 ；分当 ，且点 Q 再点 P 下方和上方、 三种情况，根据菱形及两点之间距离的性质计算，通过求解一元二次方程和一元一次方程，即可得到答案． 【详解】 （ 1 ）根据题意，得 ， ∴ ， ∴ ； （ 2 ）根据题意，设 ， 在直线 ： 中，当 时， ， ∴ ∵ 的面积为 12 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∵ ∴ 符合题意 设直线 的函数表达式是 ， 把 ， 代入 得： ， 解得： ， ∴ 直线 解析式为 ； （ 3 ）根据题意，设 ，且 如图，当 ，且点 Q 再点 P 下方时，得菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ ； 如图，当 ，且点 Q 再点 P 上方时，得菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ 或 （舍去） ∴ ，即 如图，当 ，得菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ，即 ∴ 存在点 P ，使以 O 、 C 、 P 、 Q 为顶点的四边形是菱形，坐标为 或 或 ． 【点睛】 本题考查了菱形、一元二次方程、二元一次方程组、二次根式、一元一次方程、直角坐标系、一次函数、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、直角坐标系、一次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解．

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