题目

如图，曲线由曲线和曲线 组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线 所在圆锥曲线的焦点， （1）若，求曲线的方程； （2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点， 求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求△面积的最大值． 答案：解： （1）∵，∴，解得， 则曲线的方程为和．       …………… 3分 （2）证明：曲线的渐近线为，如图，设直线， 则，化为，△， 解得．又由数形结合知．  …………………………4分 设点，， 则，，∴，． ∴，即点在直线上．  ………………………………………6分 （3）由（1）知，曲线，点． 设直线的方程为．，化为， △，化为． 设，∴，． ………… 8分 ∴， ，………… 10分 令，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立．∴时，．  

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