题目

如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 答案：方法一： （Ⅰ）由得， 所以. 故. 由，得， 由得， 由，得，所以，故. 因此平面. （Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结. 由平面得平面平面， 由得平面， 所以是与平面所成的角. 由得， 所以，故. 因此，直线与平面所成的角的正弦值是. 方法二： （Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意知各点坐标如下： 因此 由得. 由得. 所以平面. （Ⅱ）设直线与平面所成的角为. 由（Ⅰ）可知 设平面的法向量. 由即可取. 所以. 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.

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