题目

已知数列 的前 项和为 ，当 时， ，数列 中， ，直线 经过点 . （ 1 ）求数列 、 的通项公式 和 ； （ 2 ）设 ，求数列 的前 项和 ，并求 的最大整数 . 答案： （ 1 ） ， ；（ 2 ） ， . 【分析】 （ 1 ）令 可求得 的值，令 ，由 可得出 ，两式作差可推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 的通项公式，将点 的坐标代入直线 的方程，可得出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公式，进而可求得数列 的通项公式； （ 2 ）利用错位相减法可求得数列 的前 项和 ，再利用数列 的单调性可求出使得不等式 成立的最大正整数 的值 . 【详解】 （ 1 ）对任意的 时， . 当 时，可得 ，可得 ； 当 时，由 可得出 ， 两式作差得 ，整理得 ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 . 因为直线 经过点 ，则 ，可得 . 又 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ； （ 2 ） ， ， ① ， ② ② ① 得 ， ，则数列 为单调递增数列， ， ，且 ， 因此，使得 的最大整数 的值为 . 【点睛】 本题考查利用 求 、等差数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题 .

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