题目

在锐角 ABC 中， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ，有以下结论： （其中 R 为 ABC 的外接圆半径）成立．在 ABC 中，若 ∠ A =75° ， ∠ B =45° ， c =4 ，则 ABC 的外接圆面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 答案： A 【分析】 方法一：先求出 ∠C ，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式 S 圆 = ． 方法二：设 △ ABC 的外心为 O ，连结 OA ， OB ，过 O 作 OD ⊥ AB 于 D ，由三角形内角和可求 ∠ C =60° ，由圆周角定理可求 ∠ AOB =2∠ C =120° ，由等腰三角形性质， ∠ OAB =∠ OBA = ，由垂径定理可求 AD = BD = ，利用三角函数可求 OA = ，利用圆的面积公式 S 圆 = ． 【详解】 解 : 方法一： ∵∠ A =75° ， ∠ B =45° ， ∴∠ C =180°-∠ A -∠ B =180°-75°-45°=60° ， 有题意可知 ， ∴ ， ∴S 圆 = ． 方法二：设 △ ABC 的外心为 O ，连结 OA ， OB ，过 O 作 OD ⊥ AB 于 D ， ∵∠ A =75° ， ∠ B =45° ， ∴∠ C =180°-∠ A -∠ B =180°-75°-45°=60° ， ∴∠ AOB =2∠ C =2×60°=120° ， ∵ OA = OB ， ∴∠ OAB =∠ OBA = ， ∵ OD ⊥ AB ， AB 为弦， ∴ AD = BD = ， ∴ AD = OA cos30° ， ∴ OA = ， ∴S 圆 = ． 故答案为 A ． 【点睛】 本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．

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