题目

如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,交于点,为中点,,. （1）求证:; （2）求证:平面; （3）求二面角的大小. 答案：（1）答案见解析（2）答案见解析（3）. 【解析】 （1）要证明,只需证明面,即可求得答案; （2）要证明平面,只需证,即可求得答案; （3）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量和平面的法向量,根据,即可求得答案. 【详解】（1）正方形和矩形所在的平面互相垂直, 平面, 平面, , 是正方形, , , 面, 平面, .     （2）连结,如图: 交于点,为的中点, , 四边形是平行四边形, , 又不包含于平面,平面, 平面.         （3）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, 如图: ,,,, ,,, 设平面的法向量, 则, 取,可得, 又平面的法向量, , 二面角的平面角为. 【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和线面平行,及其向量法求二面角,解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直和向量法求二面角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

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