题目

一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设  ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）． （1）求V关于θ的函数表达式； （2）求  的值，使体积V最大； （3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由． 答案：（1）解：  ，  . 则  ， （2）解：  ． 令  ，得  ，或  （舍）．∵  ，∴  ． 当  时，  ，  ，  为增函数； 当  时，  ，  ，  为减函数． ∴当  时，体积V最大 （3）解：是，理由如下： 木梁的侧面积  ，  ．  ，  ． 设  ，  ，则  ， ∴当  ，即  时，  最大．又由（2）知  时，  取得最大值，所以  时，木梁的表面积S最大． 综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大

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