题目

如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点． （I）证明平面； （II）求四面体的体积. 答案：(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ). 【解析】 试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接AT,TN，由为PC中点知. 又AD∥BC，故TN平行且等于AM，四边形为平行四边形，于是MN∥AT. 因为平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB. （Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，为PC的中点， 所以到平面ABCD的距离为. 取BC的中点E，连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC，. 由AM∥BC得M到BC的距离为，故. 所以四面体N-BCM的体积. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积 【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

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