题目

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1=. （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O-A1B1-C1； 答案： 解：解法一： （1）证明：依题设，是的中位线，所以∥， 则∥平面，所以∥。 又是的中点，所以⊥， 则⊥。               因为⊥，⊥， 所以⊥面，则⊥， 因此⊥面。 （2）作⊥于，连。 因为⊥平面， 根据三垂线定理知，⊥，               就是二面角的平面角。        作⊥于，则∥，则是的中点，则。 设，由得，，解得， 在中，，则，。 所以，故二面角为。 解法二： （1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则    所以 所以 所以平面 由∥得∥，故：平面 （2）由已知设 则 由与共线得:存在有得 同理: 设是平面的一个法向量, 则令得 又是平面的一个法量                所以二面角的大小为    

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