题目

设抛物线C1：x 2＝4 y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称． (Ⅰ) 求曲线C2的方程； (Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P（异于原点），过点P作C1的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   答案：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系、等差中项等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。 (Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程， 所以方程为．                 …………5分 (Ⅱ)解：设，，,． 的导数为，则切线的方程， 又，得， 因点在切线上,故． 同理, ． 所以直线经过两点， 即直线方程为,即， 代入得，则,， 所以 ， 由抛物线定义得，． 所以， 由题设知，，即， 解得，从而． 综上，存在点满足题意，点的坐标为  或 ．                                               …………15分

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