题目

如图，一次函数 ＝ k x ＋ b （ k ≠0 ）与反比例函数 （ m ≠0 ）的图象交于点 A （ 1 ， 2 ）和 B （－ 2 ， a ），与 y 轴交于点 M ． （ 1 ）求一次函数和反比例函数的解析式； （ 2 ）在 y 轴上取一点 N ，当 △ AMN 的面积为 3 时，求点 N 的坐标； （ 3 ）将直线 向下平移 2 个单位后得到直线 y 3 ，当函数值 时，求 x 的取值范围． 答案： （ 1 ） y 1 ＝ x ＋ 1 ； ；（ 2 ） N （ 0 ， 7 ）或（ 0 ，－ 5 ）；（ 3 ）－ 2 ＜ x ＜－ 1 或 1 ＜ x ＜ 2 【解析】 （ 1 ）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出 B 点坐标，再求一次函数解析式即可； （ 2 ）根据面积求出 MN 长，再根据 M 点坐标求出 N 点坐标即可； （ 3 ）求出直线 y 3 解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果． 【详解】 解：（ 1 ） ∵ 过点 A （ 1 ， 2 ）， ∴ m ＝ 1×2 ＝ 2 ， 即反比例函数： ， 当 x ＝－ 2 时， a ＝－ 1 ，即 B （－ 2 ，－ 1 ） y 1 ＝ kx ＋ b 过 A （ 1 ， 2 ）和 B （－ 2 ，－ 1 ） 代入得 ，解得 ， ∴ 一次函数解析式为 y 1 ＝ x ＋ 1 ， （ 2 ）当 x ＝ 0 时，代入 y ＝ x ＋ 1 中得， y ＝ 1 ，即 M （ 0 ， 1 ） ∵ S △ AMN ＝ 1 ∴ MN ＝ 6 ， ∴ N （ 0 ， 7 ）或（ 0 ，－ 5 ）， （ 3 ）如图，设 y 2 与 y 3 的图像交于 C ， D 两点 ∵ y 1 向下平移两个单位得 y 3 且 y 1 ＝ x ＋ 1 ∴ y 3 ＝ x － 1 ， 联立得 解得 或 ∴ C （－ 1 ，－ 2 ）， D （ 2 ， 1 ）， 在 A 、 D 两点之间或 B 、 C 两点之间时， y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 ， ∴ － 2 ＜ x ＜－ 1 或 1 ＜ x ＜ 2 ． 【点睛】 本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题．

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