题目

如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点． 点D的坐标为（，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜） ①当t=1时，△ADF与△DEF是否相似？请说明理由； ②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可） 答案：解：（1）由题意得AB的中点坐标为（﹣，0）， CD的中点坐标为（0，3）， …………………………2分 分别代入y=ax2+b得 ，解得，， ∴y=﹣x2+3．      ……………………………3分                                （2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2     ∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30° ∴EC=BC=，DE=……………………………4分 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180° ∴∠ADC=180°﹣60°=120°……………………………5分 ∵t=1, ∴B点为(1,0) ∴F(1,2) ,E(1,3) ∴EF=1        ……………………………6分  在Rt△DEF中 tan∠EDF= ∴∠EDF=300 ∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=1200—300=900 ∴∠ADF=∠DEF ∴DF=2EF=2……………………………7分 又∵, ∴ ∴△ADF∽△DEF……………………………8分 ②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N． 观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N． ∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2， 由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤． ∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t﹣， ∴MN=3﹣（t﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2， 由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）2≥3﹣2t2，解得t≥． ∴t的取值范围为：．……………………………11分

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