题目

如图，在平行四边形中，，点为线段的三等分点（靠近点），点为线段的三等分点（靠近点，且．将沿对折，边与边交于点，且．（ 1 ）证明：四边形为矩形；（ 2 ）求四边形的面积．答案：（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）根据平行四边形的性质可得，，根据题意三等分点可得，根据对边平行且相等得到四边形为平行四边形，再根据一个角为 90° 的平行四边形是矩形即可得证；（ 2 ）根据角度关系可得是等边三角形，是等边三角形，利用割补法即可求出面积．【详解】解：（ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ，， ∵ 点为线段的三等分点（靠近点），点为线段的三等分点（靠近点）， ∴ ，， ∴ ， ∴ 四边形为平行四边形， ∵ ， ∴ 四边形为矩形；（ 2 ） ∵ ，点为线段的三等分点（靠近点）， ∴ ，， ∵ 将沿对折，边与边交于点， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是等边三角形，是等边三角形，作 B'H ⊥ AG 于 H ， ∴ ，， ∴ ．【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键．

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