题目

已知函数f(x)＝mex(x＋1)(m≠0)；g(x)＝lnx－ax－a2－3a＋1。 (1)若f(x)在(0，m)处的切线的方程为y＝－8x－4，求此时f(x)的最值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式g(x)>f(a)恒成立，求实数m的取值范围。 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 答案：解：(1)f(x)=mex(x+2)  令x=0得： f(0)=2m   由题意：2m=-8    ∴m=-4 f(x)=-4 ex(x+2)   由f(x)>0得：x<-2, 由f(x)<0得：x>-2 ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增；在(-2,+∞)上单调递减 ∴fmax(x)=f(-2)=,无最小值； (2) g(x)>f(a) lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1)  lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1 (lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1 令φ(x)= lnx-ax    ∵a∈[-1,0)   ∴φ(x)= lnx-ax在[1,+∞)上单调递增   φmin(x)=φ(1)=-a ∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1-a> mea(a+1) +a2+3a-1 mea(a+1) +a2+4a-1<0 令h(a)= mea(a+1) +a2+4a-1, a∈[-1,0) ①     当-m2即m≥-2时，h(a)>0,∴h(a)在[-1,0)上单调递增，若使h(a)<0恒成立，只需h(0)0 m1    ∴m∈[-2,0)∪(0,1] ②当-m≥2e即m-2e时, h(a)0  ∴h(a)在[-1,0)上单调递减，若使h(a)<0恒成立，只需h(-1)0   即-4<0   m-2e合题意；    ∴-2e<m<-2  合题意 综上，m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1] 法二：离参法 ①若a=-1，则-4<0恒成立，m≠0合题意； ∵a∈(-1,0)    ∴t(a)>0    t(a)在(-1,0)上单调递增 由题意：-mt(0)=-1    即m1   又∵m≠0 ∴m的取值范围为(-∞,0)∪(0,1]

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