题目

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （ 1 ） 是边长为 3 的等边三角形， E 是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形 ，如图 1 ，求 的长； （ 2 ） 是边长为 3 的等边三角形， E 是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图 2 ，在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长； （ 3 ） 是边长为 3 的等边三角形， M 是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，如图 3 ，在点 M 从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N 所经过的路径长； （4） 正方形 的边长为 3 ， E 是边 上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过程中，小亮以 B 为顶点作正方形 ，其中点 F 、 G 都在直线 上，如图 4 ，当点 E 到达点 B 时，点 F 、 G 、 H 与点 B 重合．则点 H 所经过的路径长为 ______ ，点 G 所经过的路径长为 ______ ． 答案： （ 1 ） 1 ；（ 2 ） 3 ；（ 3 ） ；（ 4 ） ； 【分析】 （ 1 ）由 、 是等边三角形， ， ， ，可证 即可； （ 2 ）连接 ， 、 是等边三角形，可证 ，可得 ，又点 在 处时， ，点 在 A 处时，点 与 重合．可得点 运动的路径的长 ； （ 3 ）取 中点 ，连接 ，由 、 是等边三角形，可证 ，可得 ．又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合．可求点 所经过的路径的长 ； （ 4 ）连接 CG ,AC ， OB ，由 ∠ CGA =90° ，点 G 在以 AC 中点为圆心， AC 为直径的 上运动，由四边形 ABCD 为正方形， BC 为边长，设 OC = x ，由勾股定理 即，可求 ，点 G 所经过的路径长为 长 = ，点 H 所经过的路径长为 的长 ． 【详解】 解 : （ 1 ） ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （ 2 ）连接 ， ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又点 在 处时， ，点 在 A 处时，点 与 重合． ∴ 点 运动的路径的长 ； （ 3 ）取 中点 ，连接 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合， ∴ 点 所经过的路径的长 ； （ 4 ）连接 CG ,AC ， OB ， ∵∠ CGA =90° ， ∴ 点 G 在以 AC 中点为圆心， AC 为直径的 上运动， ∵ 四边形 ABCD 为正方形， BC 为边长， ∴∠ COB =90° ，设 OC = x ， 由勾股定理 即 ， ∴ ， 点 G 所经过的路径长为 长 = ， 点 H 在以 BC 中点为圆心， BC 长为直径的弧 上运动， 点 H 所经过的路径长为 的长度， ∵ 点 G 运动圆周的四分之一， ∴ 点 H 也运动圆周的四分一， 点 H 所经过的路径长为 的长 = ， 故答案为 ； ． 【点睛 】 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理， 90° 圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理， 90° 圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．

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