题目

如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。答案：解：（1） AE是圆柱的母线底面BEFC, …… 1分又面BEFC …… 2分又ABCD是正方形又面ABE …… 3分又面ABE …… 4分（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC 四边形EFBC为矩形 BF为圆柱下底面的直径 …… 1分设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB= 在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE2= AB2，得BE2=2-4 在直角中BF=6，EF=，且BE2+EF2= BF2，的BE2=36-2 …… 2分解得=，即正方形ABCD的边长为 …… 3分（3）解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系, 则A(，0，2),B(，4，0),E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0) …… 1分设面AEF的法向量为(，，)，则 … 3分令，则即(，，) …… 4分设直线与平面所成角的大小为，则 …… 6分所以直线与平面所成角的正弦值为。 …… 7分解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系, 则A(0，0，2),B(4，0，0),F(0，，0), (-4，，0), (0，，-2), (0，，0) …… 1分设面AEF的法向量为(，，)，则 …… 3分令，则即(，，) …… 4分设直线与平面所成角的大小为，则 …… 6分所以直线与平面所成角的正弦值为。 …… 7分

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