题目

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是： ① 在 ⊙ O 上任取一点 A ，连接 AO 并延长交 ⊙ O 于点 B ； ② 以点 B 为圆心， BO 为半径作圆弧分别交 ⊙ O 于 C ， D 两点； ③ 连接 CO ， DO 并延长分别交 ⊙ O 于点 E ， F ； ④ 顺次连接 BC ， CF ， FA ， AE ， ED ， DB ，得到六边形 AFCBDE ．连接 AD ， EF ，交于点 G ，则下列结论错误的是 ． A ． △ AOE 的内心与外心都是点 G B ． ∠ FGA ＝ ∠ FOA C ．点 G 是线段 EF 的三等分点 D ． EF ＝ AF 答案： D 【分析】 证明 △ AOE 是等边三角形， EF ⊥ OA ， AD ⊥ OE ，可判断 A ；．证明 ∠ AGF =∠ AOF =60° ，可判断 B ；证明 FG =2 GE ，可判断 C ；证明 EF = AF ，可判断 D ． 【详解】 解：如图， 在正六边形 AEDBCF 中， ∠ AOF =∠ AOE =∠ EOD =60° ， ∵ OF = OA = OE = OD ， ∴△ AOF ， △ AOE ， △ EOD 都是等边三角形， ∴ AF = AE = OE = OF ， OA = AE = ED = OD ， ∴ 四边形 AEOF ，四边形 AODE 都是菱形， ∴ AD ⊥ OE ， EF ⊥ OA ， ∴△ AOE 的内心与外心都是点 G ，故 A 正确， ∵∠ EAF =120° ， ∠ EAD =30° ， ∴∠ FAD =90° ， ∵∠ AFE =30° ， ∴∠ AGF =∠ AOF =60° ，故 B 正确， ∵∠ GAE =∠ GEA =30° ， ∴ GA = GE ， ∵ FG =2 AG ， ∴ FG =2 GE ， ∴ 点 G 是线段 EF 的三等分点，故 C 正确， ∵ AF = AE ， ∠ FAE =120° ， ∴ EF = AF ，故 D 错误， 故答案为： D ． 【点睛】 本题考查作图 - 复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形 AEOF ，四边形 AODE 都是菱形．

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