题目

如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，当为的切线时． （1）求证：； （2）若的半径为1，请直接写出的长为__________． 答案：（1）证明见解析；（2）． 【解析】 （1）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的定义即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后利用直角三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用正切三角函数求解即可得． 【详解】 （1）如图，连接 ∵是的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 由（1）知， 又 解得 的半径为1 在中，，即 解得 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、正切三角函数、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，利用圆的切线的性质构造直角三角形是解题关键．

查看本题答案和解析