题目

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与两坐标轴分别相交于 A ， B ， C 三点 （ 1 ）求证： ∠ ACB =90° （ 2 ）点 D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E ，交 x 轴于点 F ． ① 求 DE + BF 的最大值； ② 点 G 是 AC 的中点，若以点 C ， D ， E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点 D 的坐标． 答案： （ 1 ）（ 2 ） ①9 ； ② 或 ． 【分析】 （ 1 ）分别计算 A ， B ， C 三点的坐标，再利用勾股定理求得 AB 、 BC 、 AC 的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （ 2 ） ① 先解出直线 BC 的解析式，设 ，接着解出 ，利用二次函数的配方法求最值； ② 根据直角三角形斜边的中线性质，解得 AG 的长，再证明 ，再分两种情况讨论以点 C ， D ， E 为顶点的三角形与 AOG 相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】 解：（ 1 ）令 x =0 ，得 令 得 ， （ 2 ） ① 设直线 BC 的解析式为： ，代入 ， 得 设 即 DE + BF 的最大值为 9 ； ② 点 G 是 AC 的中点， 在 中， 即 为等腰三角形， 若以点 C ， D ， E 为顶点的三角形与 AOG 相似， 则 ① 又 ， 或 经检验： 不符合题意，舍去， ② ， 又 整理得， ， 或 ， 同理： 不合题意，舍去， 综上所述， 或 ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．

查看本题答案和解析