题目

已知函数 在区间 上的最大值为 6. （ 1 ）求常数 的值以及当 时函数 的最小值 . （ 2 ）将函数 的图象向下平移 个单位，再向右平移 个单位，得到函数 的图象 . （ i ）求函数 的解析式； （ ii ）若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围 . 答案： （ 1 ） ， ；（ 2 ）（ i ） ；（ ii ） . 【分析】 （ 1 ）利用二倍角公式和辅助角公式化简 ，根据 求出 的范围，结合正弦函数的性质即可求得 的值，即可求解； （ 2 ）（ i ）根据图象的平移变换即可得 的解析式；（ ii ）先由余弦函数的性质求出 ，令 ，则 对于 恒成立，分离 转化为最值问题即可求解 . 【详解】 （ 1 ） 因为 ，所以 ， 所以当 即 时， ， 解得： ，所以 当 即 时， . （ 2 ）（ i ） 的图象向下平移 个单位，再向右平移 个单位得函数 ，即 （ ii ）因为 ，所以 ， 所以当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 设 ，则 ， 由题意可得： 对于 恒成立， 则 ， 因为 对称轴为 ，开口向上， 所以 在 上单调递增 . 所以 ，所以 ， 所以实数 的取值范围为 .

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