题目

如图，抛物线 与 轴交于 A (-1 ， 0) ， B (4 ， 0) ，与 轴交于点 C ．连接 AC ， BC ，点 P 在抛物线上运动． (1) 求抛物线的表达式； (2) 如图 ① ，若点 P 在第四象限，点 Q 在 PA 的延长线上，当 ∠ CAQ =∠ CBA 45° 时，求点 P 的坐标； (3) 如图 ② ，若点 P 在第一象限，直线 AP 交 BC 于点 F ，过点 P 作 轴的垂线交 BC 于点 H ，当 △ PFH 为等腰三角形时，求线段 PH 的长． 答案： （ 1 ） ；（ 2 ）（ 6 ， -7 ）；（ 3 ） PH = 或 1.5 或 【分析】 （ 1 ）根据待定系数法解答即可； （ 2 ）求得点 C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断 ∠ ACB =90° ，继而可得 ∠ ACO =∠ CBA ，在 x 轴上取点 E （ 2 ， 0 ），连接 CE ，易得 △ OCE 是等腰直角三角形，可得 ∠ OCE =45° ，进一步可推出 ∠ ACE =∠ CAQ ，可得 CE ∥ PQ ，然后利用待定系数法分别求出直线 CE 与 PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （ 3 ）设直线 AP 交 y 轴于点 G ，如图，由题意可得若 △ PFH 为等腰三角形，则 △ CFG 也为等腰三角形，设 G （ 0 ， m ），求出直线 AF 和直线 BC 的解析式后，再解方程组求出点 F 的坐标，然后分三种情况求出 m 的值，再求出直线 AP 的解析式，进而可求出点 P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】 解：（ 1 ）把 A (-1 ， 0) ， B (4 ， 0) 代入 ，得 ，解得： ， ∴ 抛物线的解析式是 ； （ 2 ）令 x =0 ，则 y =2 ，即 C （ 0 ， 2 ）， ∵ ， ， AB 2 =25 ， ∴ ， ∴∠ ACB =90° ， ∵∠ ACO +∠ CAO =∠ CBA +∠ CAO =90° ， ∴∠ ACO =∠ CBA ， 在 x 轴上取点 E （ 2 ， 0 ），连接 CE ，如图， 则 CE = OE =2 ， ∴∠ OCE =45° ， ∴∠ ACE =∠ ACO +45°=∠ CBA +45°=∠ CAQ ， ∴ CE ∥ PQ ， ∵ C （ 0 ， 2 ）， E （ 2 ， 0 ）， ∴ 直线 CE 的解析式为 y =- x +2 ， 设直线 PQ 的解析式为 y =- x + n ，把点 A （ -1 ， 0 ）代入，可得 n =-1 ， ∴ 直线 PQ 的解析式为 y =- x -1 ， 解方程组 ，得 或 ， ∴ 点 P 的坐标是（ 6 ， -7 ）； （ 3 ）设直线 AP 交 y 轴于点 G ，如图， ∵ PH ∥ y 轴， ∴∠ PHC =∠ OCB ， ∠ FPH =∠ CGF ， ∴ 若 △ PFH 为等腰三角形，则 △ CFG 也为等腰三角形， ∵ C （ 0 ， 2 ）， B （ 4 ， 0 ）， ∴ 直线 BC 的解析式为 ， 设 G （ 0 ， m ）， ∵ A （ -1 ， 0 ）， ∴ 直线 AF 的解析式为 y = mx + m ， 解方程组 ，得 ， ∴ 点 F 的坐标是 ， ∴ ， 当 CG = CF 时， ，解得： （舍去负值）， 此时直线 AF 的解析式为 y = x + ， 解方程组 ，得 或 ， ∴ 点 P 的坐标是（ ， ），此时点 H 的坐标是（ ， ）， ∴ PH = ； 当 FG = FC 时， ，解得 m = 或 m = （舍）或 m =2 （舍）， 此时直线 AF 的解析式为 y = x + ， 解方程组 ，得 或 ， ∴ 点 P 的坐标是（ 3 ， 2 ），此时点 H 的坐标是（ 3 ， ）， ∴ PH =2- =1.5 ； 当 GF = GC 时， ，解得 或 m =2 （舍去）， 此时直线 AF 的解析式为 y = x + ， 解方程组 ，得 或 ， ∴ 点 P 的坐标是（ ， ），此时点 H 的坐标是（ ， ）， ∴ PH = ； 综上， PH = 或 1.5 或 ． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．

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