题目

（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③． 问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 答案：【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）令y=0可求得x=﹣10，从而可求得点A的坐标，令x=0得y=10m，由OA=OB可知点B的纵坐标为10，从而可求得m的值； （2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON=AM，OM=BN，最后由MN=AM+BN可求得MN的长； （3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG=10，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP=GP=BG． 【解答】解：（1）由题意知：A（﹣10，0），B（0，10m） ∵OA=OB， ∴10m=10，即m=1． ∴L的解析式y=x+10． （2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90° ∴∠AOM+∠MAO=90° ∵∠AOM+BON=90° ∴∠MAO=∠NOB 在△AMO和△ONB中， ， ∴△AMO≌△ONB． ∴ON=AM，OM=BN． ∵AM=8，BN=6， ∴MN=AM+BN=14． （3）PB的长为定值． 理由：如图所示：过点E作EG⊥y轴于G点． ∵△AEB为等腰直角三角形， ∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°． ∵EG⊥BG， ∴∠GEB+∠EBG=90°． ∴∠ABO=∠GEB． 在△ABO和△EGB中， ， ∴△ABO≌△EGB． ∴BG=AO=10，OB=EG ∵△OBF为等腰直角三角形， ∴OB=BF ∴BF=EG． 在△BFP和△GEP中， ， ∴△BFP≌△GEP． ∴BP=GP=BG=5．

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