题目

某班 “ 数学兴趣小组 ” 对函数 的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整． （ 1 ）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 … 其中， _________ ． （ 2 ）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分． （ 3 ）观察函数图像，写出一条函数性质 ____________________________ ． （ 4 ）进一步探究函数图像发现： ① 方程 的解是 ________________ ； ② 方程 的解是 __________________ ； ③ 关于 x 的方程 有两个实数根，则 k 的取值范围是 ____________ ． 答案： （ 1 ） 3 ；（ 2 ）见详解；（ 3 ）当 x ≥1 时， y 随 x 的增大而增大；（ 4 ） ① x =1 ； ② x =-0.5 或 x =2.5 ； ③-1 ＜ k ＜ 1 【分析】 （ 1 ）把 x =-2 代入 ，即可求解； （ 2 ）用射线把各个点连接起来即可； （ 3 ）根据函数的增减性，写出一条函数的性质，即可； （ 4 ） ① 根据直线 y =0 与 的图像的交点坐标为（ 1 ， 0 ），即可求解； ② 根据直线 y =1.5 与 的图像的交点坐标为（ 2.5 ， 0 ），（ -0.5 ， 0 ），即可求解； ③ 根据 的图像和 的图像有两个交点，分别求出当直线 过（ 1 ， 0 ）时， k =-1 ，当直线 与射线 平行时， k =1 ，进而即可得到 k 的范围． 【详解】 解：（ 1 ）当 x =-2 时， =3 ，故 m =3 ， 故答案是： 3 ； （ 2 ）函数图像如图所示： （ 3 ）根据函数图像可知：当 x ≥1 时， y 随 x 的增大而增大， 故答案是：当 x ≥1 时， y 随 x 的增大而增大； （ 4 ） ①∵ 直线 y =0 与 的图像的交点坐标为（ 1 ， 0 ）， ∴ 方程 的解是 x =1 ， 故答案是： x =1 ； ②∵ 直线 y =1.5 与 的图像的交点坐标为（ 2.5 ， 0 ），（ -0.5 ， 0 ）， ∴ 方程 的解是 x =-0.5 或 x =2.5 ； ③∵ 关于 x 的方程 有两个实数根， ∴ 的图像和 的图像有两个交点， 又 ∵ 直线 过点（ -1 ， 2 ）， 当直线 过（ 1 ， 0 ）时， k =-1 ，当直线 与射线 平行时， k =1 ， ∴ 的图像和 的图像有两个交点时， -1 ＜ k ＜ 1 ， 故答案是： -1 ＜ k ＜ 1 ． 【点睛】 本题主要考查一次函数的图像和性质以及函数图像和方程的解的关系，掌握函数图像的交点横坐标就是对应方程的解，是解题的关键．

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