题目

如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点． (1) 求线段PQ长度的最小值; (2) 当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值． 答案：取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，AE=CE=． 因为AC=，所以AE2+CE2=AC2，所以三角形ACE为直角三角形，所以AE⊥CE， 所以AE⊥平面BCD． (2分) 以EB，EC，EA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，)．    (3分) (1) 设P(a，0，0)，=λ=(0，-λ，λ)， 则=+=(-a，，0)+(0，-λ，λ)=(-a，-λ，λ)， ||= = = (5分) 当a=0，λ=时，PQ长度最小值为．   (6分) (2) 由(1)知=，设平面ACD的一个法向量为n=(x，y，z)． 由n⊥DA，n⊥DC，得 化简，得取n=(，-1，-1)．    (8分) 设PQ与平面ACD所成角为θ， 则sin θ=|cos<，n>|==， 故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为．    

查看本题答案和解析