题目

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C. (1)证明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值． 答案：.(1)证明　如图所示，连接BC1，交B1C于点O，连接AO. 因为侧面BB1C1C为菱形， 所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点． 又AB⊥B1C，AB∩BO＝B， 所以B1C⊥平面ABO. 由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO. 又B1O＝CO，故AC＝AB1. (2)解　因为AC⊥AB1， 且O为B1C的中点， 所以AO＝CO.又因为AB＝BC， 所以△BOA≌△BOC， 故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直． 以O为坐标原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形． 所以二面角A－A1B1－C1的余弦值为.

查看本题答案和解析