题目

有一半径为的圆柱，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与相同，半径为的较细圆柱，用手扶着圆柱，将放在的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。已知圆柱与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30,，若放手后，两圆柱体能保持如图所示的平衡，问：圆柱与墙面间的静摩擦系数和圆柱的半径的值各应满足什么条件？ 答案： 【解析】 放上圆柱后,圆柱有向下运动的倾向,对圆柱和墙面有压力.圆柱倾向于向左运动,对墙面没有压力.平衡是靠各接触点的摩擦力维持的.现设系统处于平衡状态,取圆柱受地面的正压力为,水平摩擦力为;圆柱受墙面的正压力为,竖直摩擦力为,圆柱受圆柱的正压力为,切向摩擦力为;圆柱受圆柱的正压力为,切向摩擦力为,如图所示.各力以图示方向为正方向. 已知圆柱与地面的摩擦系数,两圆柱间的摩擦系数.设圆柱与墙面的摩擦系数为,过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。 设两圆柱的质量均为,为了求出以及为保持平衡所需的之值,下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程。 对圆柱，有  ,           ①  ,                 ②  .                              ③ 对圆柱,有  ,           ④  ,              ⑤ .                              ⑥ 由于,得 ,                   ⑦ 式中代表和的大小。又因,于是式①②④⑤四式成为  ,          ⑧  ,                   ⑨  ,         ⑩  .              ⑪ 以上四式是和的联立方程,解这联立方程可得 ,                               ⑫ ，             ⑬  ，        ⑭  .            ⑮ 式⑫⑬⑭⑮是平衡时所需要的力,没有问题,但三个力能不能达到所需要的数值，即式⑫⑭要受摩擦系数的制约.三个力中只要有一个不能达到所需的值,在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。 首先讨论圆柱与墙面的接触点.接触点不发生滑动,要求 。 由式⑫得,， 所以，.                          ⑯ 再讨论圆柱与地面的接触点的情形.按题设,此处的摩擦系数为,根据摩擦定律，若上面求得的接触点维持平衡所需的水平力满足,则圆柱在地面上不滑动;若,这一点将要发生滑动。 圆柱在地面上不发生滑动的条件是   .          ⑰ 由图乙可知，              ⑱ 则.           ⑲ 由式⑰⑱⑲以及,可以求得 .                               ⑳ 即只有当时,圆柱A在地面上才能不滑动。 最后讨论两圆柱的接触点.接触点不发生滑动，要求  .                   ㉑ 由式⑱⑲以及,可解得 .                  ㉒ 显然,在平衡时,的上限为.总结式⑳和式㉒,得到满足的条件为 .                        ㉓

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