题目

如图，已知在 ⊙ O 中， ， OC 与 AD 相交于点 E ．求证： （ 1 ） AD ∥ BC （ 2 ）四边形 BCDE 为菱形． 答案： （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析 【分析】 （ 1 ）连接 BD ，根据圆周角定理可得 ∠ ADB =∠ CBD ，根据平行线的判定可得结论； （ 2 ）证明 △ DEF ≌△ BCF ，得到 DE = BC ，证明四边形 BCDE 为平行四边形，再根据 得到 BC = CD ，从而证明菱形． 【详解】 解：（ 1 ）连接 BD ， ∵ ， ∴∠ ADB =∠ CBD ， ∴ AD ∥ BC ； （ 2 ）连接 CD ， ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ EDF =∠ CBF ， ∵ ， ∴ BC = CD ， ∴ BF = DF ，又 ∠ DFE =∠ BFC ， ∴△ DEF ≌△ BCF （ ASA ）， ∴ DE = BC ， ∴ 四边形 BCDE 是平行四边形，又 BC = CD ， ∴ 四边形 BCDE 是菱形． 【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到 BF = DF ．

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