题目

记 分别为函数 的导函数 . 若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个 “ 点 ”. （ 1 ）以下函数 与 存在 “ 点 ” 的是 ___________ ① 函数 与 ； ② 函数 与 ； ③ 函数 与 . （ 2 ）已知： ，若函数 与 存在 “ 点 ” ，则实数 的取值范围为 ___________. 答案： ② 【分析】 第一空根据 是否有解即可判断；第二空由 得到 ，构造函数 ，利用导数研究函数 的图象与性质即可求出结果 . 【详解】 ① 因为函数 与 ，所以 ， ，由题意得 ，无解，故不存在 “ 点 ” ； ② 函数 与 ，所以 ， ，由题意得 ，解得 ，故 为函数 与 的一个 “ 点 ” ； ③ 函数 与 ，所以 ， ，由题意得 ，无解，故不存在 “ 点 ” ； 函数 与 ，则 与 ，由题意得 ，则 ，令 ，则 ，令 ，则 ，所以 时，则 ，故 单调递增； 时，则 ，故 单调递减；所以 在 处取得极小值，也是最小值， ，且 时， ，所以实数 的取值范围为 , 故答案为： ② ； 【点睛】 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极 ( 最 ) 值问题处理．

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