题目

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ． （ 1 ）求该抛物线的表达式； （ 2 ）点 为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标； （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，将抛物线 向右平移经过点 时，得到新抛物线 ，点 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考：若点 、 ，则线段 的中点 的坐标为 ． 答案： （ 1 ）该抛物线的表达式为： ；（ 2 ） 面积最大值为 8 ，此时 P 点的坐标为： P （ 2 ， -6 ）；（ 3 ） 或 或 或 【分析】 （ 1 ）将两个点分别代入抛物线可得关于 a ， b 的二元一次方程组，可解得 a ， b ； （ 2 ）设出 P 、 Q 两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可； （ 3 ）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点 E 、 F ，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案． 【详解】 解：（ 1 ）将 A （ -1,0 ）， B （ 4,0 ）代入抛物线 可得： ， 解得： ， ∴ 该抛物线的表达式为： ； （ 2 ）过点 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N ，如图所示： 设 且 ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点 在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ， 根据抛物线的基本性质：对称轴为 在 内， ∴ 在 取得最大值，代入得： ， 当 时， ， ∴ 面积的最大值为 8 ，此时点 P 的坐标为： ． （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，原抛物线解析式为 ，将抛物线向右平移经过点 ，可知抛物线向右平移了 个单位长度， ∴ 可得： ， 化简得平移后的抛物线： ， 对称轴为： ， 由（ 2 ）得： A （ -1 ， 0 ）， ，点 E 在对称轴上， ∴ 设 E （ 3 ， e ），点 F （ m ， n ），矩形 AEPF ， 当以 AP 为矩形的对角线时，则 AP 的中点坐标为： ， EF 的中点坐标为： ， 根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得： 解得： ∵ 矩形 AEPF ， ∴ 为直角三角形， ∴ ， ③ ， ， ， 代入 ③ 化简可得： ， ④ ∴ 将 ② 代入 ④ 可得： ， 化简得： ， 根据判别式得： ， ∴ ， ∴ 或 ； 当以 AP 为矩形的边时，如图所示： 过点 P 分别作 PG ⊥ x 轴于点 G ， PH ∥ x 轴，过点 F 作 PH 的垂线，垂足为 H ，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M ，如图， ∴ ， ， AM =4 ， ∴ ， ∵ 四边形 是矩形， ∴ ， AE = PF ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ FH =2 ， ∵ 点 ， ∴ ， 当以 AP 为矩形的边时，如图所示： 同理可得 ； 综上所述：以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形， 或 或 或 【点睛】 题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案．

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