题目

如图，在 中， ， ． （ 1 ）如图 1 ，求证： ； （ 2 ）如图 2 ， ，求证： ； （ 3 ）如图 3 ，在（ 2 ）的条件下， ， ，求 的面积． 答案： （ 1 ）证明过程见解析；（ 2 ）证明过程见解析；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）根据已知条件求得 ∠ BCD =∠ CBA ，即可得解； （ 2 ）证明 ∠ DCB +∠ A =∠ DCB +∠ ACD =90° ，即可得解； （ 3 ）过点 作 于点 ，过点 作 ，过 作 交 于点 , 于点 , 过点 作 于点 , 过点 作 分别交 ， 于点 , 连接 , 分别证明 ， ，通过导角可得 是等腰直角三角形，进而求得 , 进而求得 的面积． 【详解】 解：（ 1 ）证明： ∵ ， ∴∠ ACD +∠ BCD =90° ， ∠ CAB +∠ CBA =90° ， 又 ∵ ， ∴∠ BCD =∠ CBA ， ∴ BD = CD ； （ 2 ）证明： ∠ FED =∠ DCB +∠ CFE =∠ DCB +∠ A -45° ， ∵ ， ∴∠ DCB +∠ A =∠ DCB +∠ ACD =90° ， ∴∠ FED =90°-45°=45° ； （ 3 ）如图，过点 作 于点 ，过点 作 ，过 作 交 于点 , 于点 , 过点 作 于点 , 即 为 的角平分线， 在 与 中， （ AAS ） 过点 作 分别交 ， 于点 , 四边形 是平行四边形 是等腰直角三角形 又 ① 设 则 ， , ② 连接 , 如图， 是等腰直角三角形 ③ 在 与 中 ， 是等腰直角三角形 【点睛】 本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，平行四边形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．

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