题目

在古代，智慧的劳动人民已经会使用 “ 石磨 ” ，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的 “ 连杆 ” ，推动 “ 连杆 ” 带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为 “ 曲柄连杆机构 ” ．小明受此启发设计了一个 “ 双连杆机构 ” ，设计图如图 1 ，两个固定长度的 “ 连杆 ” ， 的连接点 在 上，当点 在 上转动时，带动点 ， 分别在射线 ， 上滑动， ．当 与 相切时，点 恰好落在 上，如图 2 ． 请仅就图 2 的情形解答下列问题． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若 的半径为 ， ，求 的长． 答案： （ 1 ）见解析；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即可证明； （ 2 ）添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直角边长，再把 放到直角三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】 解：（ 1 ）证明：连接 ，取 轴正半轴与 交点于点 ，如下图： ， 为 的外角， ， ， ， ． （ 2 ）过点 作 的垂线，交 与点 ，如下图： 由题意： 在 中， ， 由（ 1 ）知： ， ， ， ， ， ， 由圆的性质，直径所对的角为直角； 在 中，由勾股定理得： ， 即 ． 【点睛】 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、特殊角度的正切值，解得的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．

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