题目

如图，已知 ， ， ，点 E 为射线 上一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点 B 落在点 处，过点 作 的垂线，分别交 ， 于 M ， N 两点，当 为线段 的三等分点时， 的长为（ ） A ． B ． C ． 或 D ． 或 答案： D 【分析】 因为点 为线段 的三等分点，没有指明线段 的占比情况，所以需要分两种情况讨论： ① ； ② ．然后由一线三垂直模型可证 ∽ ，再根据相似三角形的性质求得 的值，最后由 即可求得 的长． 【详解】 当点 为线段 的三等分点时，需要分两种情况讨论： ① 如图 1 ，当 时， ∵ ∥ ， ， ， ∴ 四边形 为矩形， ∴ ， ， ． 由折叠的性质可得 ， ． 在 中， ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∽ ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴ ． ② 如图 2 ，当 时， ∵ ∥ ， ， ， ∴ 四边形 为矩形， ∴ ， ， ． 由折叠的性质可得 ， ． 在 中， ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∽ ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴ ． 综上所述， 的长为 或 ． 故选： ． 【点睛】 本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由 为线段 的三等分点，分两种情况讨论线段 的占比情况，以及利用 型相似进行相关计算是解决此题的关键．

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