题目

在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=，x为道路密度，q为车辆密度． v=f（x）=． （1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围； （2）已知道路密度x=80，交通流量v=50，求车辆密度q的最大值． 答案：（1）（3，40）  （2） 【解析】解：（1）∵v=，∴v越大，x越小， ∴v=f（x）是单调递减函数，k＞0， 当40≤x≤80时，v最大为85， 于是只需令100−135•()x＞95，解得x＞3， 故道路密度x的取值范围为（3，40）． （2）把x=80，v=50代入v=f（x）=-k（x-40）+85中， 得50=-k•40+85，解得k=． ∴q=vx=， 当0＜x＜40时，q单调递增，q＜100×40-135×()40×40≈4000； 当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x=, 此时q有最大值，为−×()2+120×=＞4000． 故车辆密度q的最大值为 【考点】根据实际问题选择函数类型．几类不同增长的函数模型的特点 【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理． 【分析】（1）易知v越大，x越小，所以v=f（x）是单调递减函数，k＞0，于是只需令100−135•()x＞95，解不等式即可； （2）把x=80，v=50代入v=f（x）的解析式中，求出k的值，利用q=vx可得到q关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可． 【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．

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