题目

已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1. (1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标； (2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点. 答案： (1)解　设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1， 由解得Q. (2)证明　设过点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0， 特别地，当t＝0时，k＝±1，切点为A(1，2)，B(1，－2)，显然AB过定点F(1，0). 一般地方程k2＋kt－1＝0有两个根， ∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1， ∴两切点分别为A，B，∴＝，＝， 又－＝2＝0， ∴与共线，又与有共同的起点F，∴A，B，F三点共线，∴AB过点F(1，0)，  综上，直线AB过定点F(1，0).

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