题目

设是 定义在 上的函数，若对任何实数 以及 中的任意两数 、 ，恒有 ，则称 为定义域上的 函数． （ 1 ）判断函数 ， 是否为定义域上的 函数，请说明理由； （ 2 ）函数 ， 是定义域上的 函数，求实数 的最小值； （ 3 ）若 是定义域为 的周期函数，且最小正周期为 ．试判断 是否可能为定义域上的 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数 ；如果不可能，请说明理由． 答案： （ 1 ） 不是 函数，理由见解析；（ 2 ） ；（ 3 ） 不是 上的 函数，理由见解析． 【分析】 （ 1 ）取 ， ， ，验证 ，即可得出结论； （ 2 ）设 ，由 化简得出 ，可得出 ，可求得 的取值范围，即可得出实数 的最小值； （ 3 ）假设 是 上的 函数，若存在 且 、 ，使得 ，分别论证 、 不成立，即可得出结论 . 【详解】 （ 1 ） 不是 函数， 说明如下（举反例）：取 ， ， ， 则 ， 即 ，所以 不是 函数； （ 2 ）对任意的 ，由 可得 ， 所以， ， 所以， ， 不妨设 ，可得 ， ， ，即 ， 所以， ， 因为 ，只需 ，即 ，解得 . 因此，实数 的最小值为 ； （ 3 ）假设 是 上的 函数，若存在 且 、 ，使得 ． （ ⅰ ）若 ， 记 ， ， ，则 ，且 ， 那么 ， 这与 矛盾； （ ⅱ ）若 ，记 ， ， ，同理也可得到矛盾； 所以 在 上是常数函数， 又因为 是周期为 的函数，所以 在 上是常数函数，这与 的最小正周期为 矛盾． 所以 不是 上的 函数． 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解决本题的关键在于充分利用题中 “ 函数 ” 的定义，利用作差法、不等式的基本性质来求解，在判断 “ 函数 ” 的定义不满足时，可充分利用特殊值、反例来进行否定 .

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