题目

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； 答案：解：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量， 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得. 因为平面BDE，所以MN//平面BDE. （Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得. 因此有，于是. 所以，二面角C—EM—N的正弦值为.

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