题目

如图，抛物线 （其中 ）与 x 轴交于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ． （ 1 ）直接写出 的度数和线段 AB 的长（用 a 表示）； （ 2 ）若点 D 为 的外心，且 与 的周长之比为 ，求此抛物线的解析式； （ 3 ）在（ 2 ）的前提下，试探究抛物线 上是否存在一点 P ，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： （ 1 ） ∠ OCA =45° ， AB = a +1 ；（ 2 ） ；（ 3 ）存在， P 1 （ ， ）， P 2 （ 1 ， -2 ）． 【分析】 （ 1 ）根据二次函数解析式可得 A （ a ， 0 ）， C （ 0 ， - a ）， B （ -1 ， 0 ），即可得出 OA = OB = a ， OB =1 ，即可证明 △ OCA 是等腰直角三角形，可得 ∠ OCA =45° ，根据线段的和差关系可表示 AB 的长； （ 2 ）如图，作 △ ABC 的外接圆 ⊙ D ，根据等腰直角三角形的性质可得 AC = ，利用两点间距离公式可用 a 表示出 BC 的长，根据圆周角定理可得 ∠ D =2∠ OAC =90° ，可得 △ DBC 是等腰直角三角形，即可证明 △ DBC ∽△ OCA ，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出 a 值即可得答案； （ 3 ）如图，过点 D 作 DH ⊥ AB 于 H ，过点 C 作 AC 的垂线，交 x 轴于 F ，过点 O 作 OG ⊥ AC 于 G ，连接 AP 交 CF 于 E ，可得 △ OCF 是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线 CF 的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点 D 坐标，即可得出 BH 、 DH 的长，根据 ， ∠ BHD =∠ ACE =90° 可证明 △ BHD ∽△ ACE ，根据相似三角形的性质可求出 CE 的长，根据两点间距离公式可得点 E 坐标，利用待定系数法可得直线 AE 解析式，联立直线 AE 与抛物线的解析式求出点 P 坐标即可得答案． 【详解】 （ 1 ） ∵ 抛物线 （其中 ）与 x 轴交于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ． ∴ 当 x =0 时， y =- a ， 当 y =0 时， ， 解得： ， ， ∴ A （ a ， 0 ）， C （ 0 ， - a ）， B （ -1 ， 0 ）， ∴ OB =1 ， OA = OC = a ， ∴△ OCA 是等腰直角三角形， ∴∠ OCA =45° ， AB = OA + OB = a +1 ． （ 2 ）如图，作 △ ABC 的外接圆 ⊙ D ， ∵ 点 D 为 的外心， ∴ DB = DC ， ∵△ OCA 是等腰直角三角形， OA = a ， ∴∠ OAC =45° ， AC = ， ∵∠ BDC 和 ∠ BAC 是 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ BDC =2∠ BAC =90° ， ∴∠ DBC =45° ， ∴∠ DBC =∠ OAC ， ∴△ DBC ∽△ OCA ， ∵ 与 的周长之比为 ， ∴ ，即 ， 解得： ， 经检验： 是原方程的根， ∵ , ∴ a =2 ， ∴ 抛物线解析式为： = ． （ 3 ）如图，过点 D 作 DH ⊥ AB 于 H ，过点 C 作 AC 的垂线，交 x 轴于 F ，过点 O 作 OG ⊥ AC 于 G ，连接 AP 交 CF 于 E ， ∵ a =2 ， ∴ C （ 0 ， -2 ）， A （ 2 ， 0 ）， AC = ， ∵∠ OCA =45° ， ∴∠ OCF =45° ， ∴△ OCF 是等腰直角三角形， ∴ F （ -2 ， 0 ）， 设直线 CF 的解析式为 y = kx + b ， ∴ ， 解得： ， ∴ 直线 CF 的解析式为 ， ∵△ OCA 是等腰直角三角形， OG ⊥ AC ， ∴ OG 所在直线为 AC 的垂直平分线，点 G 为 AC 中点， ∵ 点 D 为 的外心， ∴ 点 D 在直线 OG 上， ∵ A （ 2 ， 0 ）， C （ 0 ， -2 ）， ∴G （ 1 ， -1 ）， 设直线 OG 的解析式 y = mx ， ∴ m =-1 ， ∴ 直线 OG 的解析式 y =- x ， ∵ 点 D 为 △ ABC 的外心， ∴ 点 D 在 AB 的垂直平分线上， ∴ 点 D 的横坐标为 = ， 把 x = 代入 y =- x 得 y =- ， ∴ D （ ， - ）， ∴ DH = ， BH =1+ = ， ∵ ， ∠ BHD =∠ ACE =90° ， ∴△ BHD ∽△ ACE ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∵ 点 E 在直线 CF 上， ∴ 设点 E 坐标为（ n ， - n -2 ）， ∴ CE = = ， 解得： ， ∴ （ ， ）， （ ， ）， 设直线 AE 1 的解析式为 y = k 1 x+ b 1 ， ∴ ， 解得： ， ∴ 直线 AE 1 的解析式为 ， 同理：直线 AE 2 的解析式为 ， 联立直线 AE 1 解析式与抛物线解析式得 ， 解得： ， （与点 A 重合，舍去）， ∴ P 1 （ ， ）， 联立直线 AE 2 解析式与抛物线解析式得 ， 解得： ， （与点 A 重合，舍去）， ∴ P 2 （ 1 ， -2 ）． 综上所述：存在点 P ，使得 ，点 P 坐标为 P 1 （ ， ）， P 2 （ 1 ， -2 ）． 【点睛】 本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．

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