题目

已知直线 为参数， ) 经过椭圆 为参数）的左焦点 ． （ 1 ）求 的值； （ 2 ）设直线 与椭圆 交于 两点，求 的最小值． （ 3 ）设 的三个顶点在椭圆 上，求证，当 是 的重心时， 的面积是定值． 答案： （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）证明见解析． 【分析】 （ 1 ）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （ 2 ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． （ 3 ）利用三角形的面积公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】 （ 1 ）因为椭圆 的普通方程为 ，所以 ． 因为直线 的普通方程为 ， 其中 ．又直线过点 ，所以 ． （ 2 ）将直线 的参数方程 代入椭圆 的普通方程 中， 整理得 ． 设点 在直线参数方程中对应的参数分别为 ， 则 ， 当 时， 取得最小值，为 ． （ 3 ）法一：设 ，因为 为 的重心， 所以 ，得 所以 ． （也可 ） 法二：设 ， 则有 ，代入椭圆得 ， 所以 ，所以 ， 所以 的面积是定值．

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