三角形的中位线定理知识点题库

如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，则下列关系式：
① $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）

A . 150° B . 120° C . 60° D . 30°

如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是（）

A . 平行四边形 B . 矩形 C . 等腰梯形 D . 直角梯形

如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．

（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

特例探索

（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2 $\text{[math]}$ 时，a=，b=．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=，b=．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a² ， b² ， c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝ $\text{[math]}$ ，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于E，F.

（1）求BD的长；
（2）当旋转角∠AOF等于多少度时，△AOF与△BOE的面积相等？请写出理由．

如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连结BE．

（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．

（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值
（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；
（3）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角α（精确到0.1°，cos73.2°≈0.29）；若不存在，说明理由．

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= $\text{[math]}$ BD，连结DM、DN、MN。若AB=5，则DN=。

如图，点E在正方形ABCD的边AB上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF， P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ.若AB＝6，CE＝4，则PQ=.

如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，

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（1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是；
（2）对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是菱形；
（4）对角线AC、BD满足条件时，四边形EFGH是正方形．

如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠ APB＝45°，则CD长的最大值为（）

A . 2 B . 2 $\text{[math]}$ C . 4 D . 4 $\text{[math]}$

如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）

A . 3 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在△ABC中，AB＝AC ， AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F ．

（1）求证：EO＝ $\text{[math]}$ AB；
（2）试判断四边形ACEF的形状，并证明你的结论．

如图，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为CD上一点且DE＝3EC ，点F ， G分别是AE ， BE的中点，若FG＝4cm ，则DE的长度为．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D是斜边AB的中点，E是边BC上一点，且DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E，F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

问题情景：已知等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

（1）大胆猜想：
如图（1），当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 恰好重合时，探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并加以证明.
（2）尝试类比：
如图（2），当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 外部时，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.
（3）拓展延伸：
如图（3），将图（2）中的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，请猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的位置关系和数量关系.（不必证明）

如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 外，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.

（1）证明DE是⊙O的切线；
（2） AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8.
①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
②求DE的长.

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