等腰直角三角形知识点

一：概念:
        等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是：
       （1）两底角等于45°。
       （2）两腰相等。
       （3）等腰直角三角形三边比例为

1 ： 1 : \sqrt{2}

二：性质
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

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如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 平行．点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ 重合），作射线 $\text{[math]}$ ．将射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
（2）依题意补全图 $\text{[math]}$ ，并证明此时（ $\text{[math]}$ ）中的结论仍然成立．
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 顶点为 $\text{[math]}$ .

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（1） $\text{[math]}$ 点坐标为（结果用 $\text{[math]}$ 表示）.
（2）当 $\text{[math]}$ 时，如图所示，该抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点. $\text{[math]}$ 为抛物线第二象限一点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
（3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若该抛物线与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，求∠B的度数.

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如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且 $\text{[math]}$ ，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为.

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如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP'，连接CP'，则线段CP'的最小值为（）

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A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤S_△BDE：S_△_ACD=BD：AC，其中正确的个数（）

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A . 5个 B . 4个 C . 3个 D . 2个

如图，一次函数y=x+m图象过点A(1，0)，交y轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为y轴负半轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的抛物线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且CD//x轴．

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（1）求这条抛物线的解析式；
（2）观察图象，写出使一次函数值小于二次函数值时 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）在题中的抛物线上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为直角？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒1个单位的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，运动时间设为 $\text{[math]}$ 秒.

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（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）求下列情形 $\text{[math]}$ 的值；
①连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 的面积平分；

②连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、F是射线BC上两点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；则下列结论中正确的有（）

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① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点.

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（1）在图（1）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，这个三角形的面积为；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个斜边为2 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形.（注：2 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ）

将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点E，连接 $\text{[math]}$ ，CE.

（1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；
（2）求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）当四边形CEDB′是平行四边形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值及sinα的值.

如图， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一个动点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）如图1， $\text{[math]}$ ，
①求 $\text{[math]}$ 的大小；

②求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，试猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的结论.

如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.

（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝3，求AD的长.

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ . 点 $\text{[math]}$ 是平面内不与点 $\text{[math]}$ 重合的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

（1）动手操作
如图1，当 $\text{[math]}$ 时，我们通过用刻度尺和量角器度量发现：

$\text{[math]}$ 的值是 $\text{[math]}$ ；直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角的度数是 $\text{[math]}$ ；

请证明以上结论正确.
（2）类比探究
如图2，当 $\text{[math]}$ 时，请写出 $\text{[math]}$ 的值及直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由.

两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得有未标识的字母）；
（2）判断DC⊥BE是否成立？说明理由．

等腰直角三角形的腰长为 $\text{[math]}$ ，该三角形的重心到斜边的距离为．

如图，⊙O的半径OA＝5，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边为．

如图，在二次函数 $\text{[math]}$ （m是常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.连接AC，BD.

（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数 $\text{[math]}$ （m是常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上，始终存在一点P，使得 $\text{[math]}$ ，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.

定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形.

（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是（）

A . 平行四边形 B . 矩形 C . 菱形 D . 正方形
（2）如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 为圆美四边形，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外接圆 $\text{[math]}$ 的直径，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .问四边形 $\text{[math]}$ 是圆美四边形吗？为什么？

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