等腰三角形的判定与性质知识点

一：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”).
几何表示:
如图，△ABC 中，因为∠B=∠C，所以AB=AC.

二：等腰三角形的性质定理
(1)等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角，几何表示:
如图.△ABC中.因为AB=AC，所以∠B=∠C。

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”
几何表示:如图，△ABC中，
因为AR=AC，AD 平分∠BAC,所以AD⊥ BC.BD=DC.
或因为AB=AC,AD⊥BC.所以∠BAD=∠DAC，BD= DC.
或因为AB=AC.BD= DC，所以 AD⊥BC.∠BAD=∠DAC.

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如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为．

在△ABC中，AD为高线，若AB+BD=CD，AC=4 $\text{[math]}$ ，BD=3，则线段BC的长度为．

如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（）

A . BM+CN=MN B . BM﹣CN=MN C . CN﹣BM=MN D . BM﹣CN=2MN

如图，抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+e与x轴交于点A（﹣3，0）、点B（9，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）
如图1，过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；
（3）
如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，直接写出△PMN为等腰三角形时点P的坐标．

如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.

（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.

如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．

如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.

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（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝ $\text{[math]}$ ，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.

如图，AB∥CD ，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB ， AC于E ， F两点，再分别以E ， F为圆心，大于 $\text{[math]}$ EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD于点M ，

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（1）由题意可知，射线AP是；
（2）若∠CMA＝33°，求∠CAB的度数；
（3）若CN⊥AM ，垂直为N ，试说明：AN＝MN ．

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，请写出图中两对“等角三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°。求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，若△ACD是等腰三角形，请直接写出∠ACB的度数．

如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，连接AD，若∠CAD＝ $\text{[math]}$ ∠B，AB＝8，CD＝2，则AD的长为．

如图，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.

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（1）求∠APB的度数；
（2）如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长.

如图，点C ， E ， F ， B在一条直线上，点A ， D在BC异侧，AB∥CD ， AE=DF ， ∠A=∠D ．

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（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF ， ∠B=50°，求∠D的度数．

已知：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点D在 $\text{[math]}$ 上.

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（1）求证： $\text{[math]}$
（2）如图2，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的面积.

如图①，ΔABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF//BC分别交AB、AC于E，F.

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（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系.并说明理由.
（2）如图②，若ΔABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE//BC交AB于E，交AC于F.这时图中EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是角平分线， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于D，交 $\text{[math]}$ 于E，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 10 B . 12 C . 14 D . 16

如图所示，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使DE=BD.

求证：CE= $\text{[math]}$ BC.

已知△ABC是等边三角形，D，E分别是直线AC，BC上一点.

（1）如图，若D在线段AC上，E在BC的延长线上，且DE＝DB.
①当D是线段AC的中点时（如图1），求证：CE＝AD；
②当D不是线段AC的中点时（如图2），过点D作DF∥AB交BC于点F，试确定线段CE与AD的大小关系，并证明你的结论.
（2）若D是线段AC的延长线上一点，且CD＝CA，当△DBE是等腰三角形时，求∠DEB的度数.

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是中线 $\text{[math]}$ 的中点.点P是边 $\text{[math]}$ 上的动点（点P与点C不重合），点F，C关于直线 $\text{[math]}$ 成轴对称，连结 $\text{[math]}$ .小超为了研究点P运动过程中， $\text{[math]}$ 之间的大小关系，借鉴了函数的学习经验，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并利用几何画板画出如图2所示的 $\text{[math]}$ 关于x的函数图象，且这两条函数图象的交点M的坐标约为 $\text{[math]}$ .

（1）求图1中DE的长.
（2）写出图2中点M的实际意义及a的值.
（3）结合图象，写出点P在运动过程中等腰 $\text{[math]}$ 的个数，并说明理由.
（4）当 $\text{[math]}$ 时，求x的值.

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