角平分线的定义知识点

三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，AD是△ABC的角平分线.

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若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相( )

A . 垂直 B . 平行 C . 重合 D . 相交

如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF=75°，求∠BOD的度数．

如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.

求证：

（1） AM⊥DM；
（2） M为BC的中点.

如图，已知∠1＝∠BDC，∠2＋∠3＝180°.

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（1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝70°，试求∠FAB的度数.

阅读下列推理过程，在括号中填写理由．

已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE交BC于点F，AE平分∠BAC．求证：DF平分∠BDE

证明：∵AE平分∠BAC（已知）

∴∠1＝∠2（　▲ 　）

∵AC∥DE（已知）

∴∠1＝∠3（　 ▲ 　）

故∠2＝∠3（　 ▲ 　）

∵DF∥AE（已知）

∴∠2＝∠5，（　 ▲ 　）

∠3＝∠4（　 ▲ 　）

∴∠4＝∠5（　 ▲ 　）

∴DF平分∠BDE（　 ▲ 　）

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在 $\text{[math]}$ 中,BD,CE分别是 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 平分线,BD,CE相交于点P．

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（1）如图1,如果 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ ；
（2）如图2,如果 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 不是直角,请问在 $\text{[math]}$ 中所得的结论是否仍然成立？若成立,请证明：若不成立,请说明理由．
（3）小月同学在完成 $\text{[math]}$ 之后,发现CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系,于是她在边CB上截取了 $\text{[math]}$ ,连接PF,可证 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ,请你写出小月同学发现,并完成她的说理过程．

如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE ， ∠DAE的平分线AG与CD边交于点G ，与BC的延长线交于点F ．设 $\text{[math]}$ ＝λ（λ＞0）．

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（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG ，若EG⊥AF ，
①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，AO，BO分别是角平分线，且 $\text{[math]}$ ，分别交AC于N，BC于M，则 $\text{[math]}$ 的周长为（）

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A . 12 B . 24 C . 36 D . 不确定

如图①，已知点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上两点，D是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）求线段 $\text{[math]}$ 的长；
（2）如图②，若M，N分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
（3）类比以上探究，如图③，解决以下问题：射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的大小.

如图所示，OB，OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD的代数式是（）

A . 2α﹣β B . α﹣β C . α+β D . 以上都不正确

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，已知直线AB上有一点O，射线OD平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

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（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）求 $\text{[math]}$ 的度数．

如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOD，若∠BOE＝42°，则∠AOF的度数是.

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在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交对边于一点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则它的周长为 $\text{[math]}$ .

已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， OC平分∠AON．

（1）如图1，射线 $\text{[math]}$ 与射线OB均在∠MON的内部．
①若 $\text{[math]}$ ， ∠MOA＝ ▲ °；
②若 $\text{[math]}$ ，直接写出∠MOA的度数（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（2）如图2，射线OA在∠MON的内部，射线OB在∠MON的外部．
①若 $\text{[math]}$ ，求∠MOA的度数（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
②若在∠MOA的内部有一条射线OD，使得 $\text{[math]}$ ，直接写出∠MOD的度数．

如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．

（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．

数学课上，老师要求同学们用一副三角板作一个钝角，并且作出它的角平分线．雯雯设计的作法如下：

⑴先按照图1的方式摆放一副三角板，画出∠AOB；

⑵在∠AOB处，再按照图2 的方式摆放一副三角板，作出射线OC；

⑶去掉三角板后得到的图形（如图3）为所求作，老师说雯雯的作法符合要求，是正确的．

请你回答：

（1）雯雯作的∠AOB的度数是；
（2）射线OC是∠AOB的角平分线的依据是．

如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，射线OE在∠COD内部，且∠AOE＝2∠DOE．

（1）如图1，若OD是∠BOC的平分线，求∠COE的度数；
下面是小宇同学的解答过程，请帮小宇补充完整．
解：如图1，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠  ▲   ＝60°，
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝120°．
∵∠AOD＝∠AOE＋∠DOE，∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠  ▲   ，
∴∠DOE＝ $\text{[math]}$ ∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠  ▲  －∠DOE＝20°．
（2）如图2，小宇发现当∠BOD的大小发生变化时，∠COE与∠BOD的数量关系保持不变，请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由．

如图，直线ME交直线AB于点M，交直线CD于点E，MN平分∠BME，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数是（）

A . 120° B . 110° C . 100° D . 95°

已知：如图1，直线 $\text{[math]}$ ， EF分别交AB，CD于E，F两点， $\text{[math]}$ 的平分线相交于点M．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的等量关系，并说明理由；
（3）在图2中作 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ，依此类推，作 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

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